Esquema de una viga con apoyos y cargas, como en los ejercicios de cálculo de vigas

Ejercicios resueltos de vigas

Siete ejercicios de cálculo de vigas resueltos paso a paso: reacciones, esfuerzo cortante, momento flector y diagramas. Para practicar en 2º Bachillerato y preparar la PAU (EBAU/EvAU).

Ejercicios resueltos

2º Bachillerato

Nivel

Cada ejercicio sigue el mismo proceso: diagrama de cuerpo libre, condiciones de equilibrio para hallar las reacciones, esfuerzo cortante y momento flector por tramos y, por último, los diagramas. Los primeros tienen uno o dos tramos; los últimos, tres. Incluye ejercicios de PAU, que según la comunidad autónoma también se llama EBAU o EvAU.

¿No recuerdas el proceso?
Repasa el proceso de cálculo y el ejemplo resuelto de la guía de Cálculo de vigas antes de empezar.

// Ejercicio 1 · 2025 Jul. extraord.

E1Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida (rectangular)

Datosq = 1'2 kN/mL = 7 m

a) Diagrama de cuerpo libre (DCL)

La carga repartida se transforma en una fuerza en el punto medio: P = q·L = 1'2·7 = 8'4 kN.

DCL

Condiciones de equilibrio

ΣF_x = 0 ⇒ R_Ax = 0

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − P + R_By = 0

ΣM_B = 0 ⇒ R_Ay·L − P·L/2 = 0 ⇒ 7·R_Ay − 3'5·8'4 = 0 ⇒ R_Ay = 29'4/7 = 4'2 kN

R_By = P − R_Ay = 8'4 − 4'2 = 4'2 kN

Carga repartida y reacciones calculadas

b) Esfuerzo cortante y momento flector

Al ser una carga uniformemente distribuida a lo largo de toda la viga, solo tenemos un tramo (un corte) a una distancia x del apoyo A.

Tramo único · 0 ≤ x ≤ 7

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − 1'2·x − V = 0 ⇒ V = 4'2 − 1'2·x kN

ΣM_x = 0 ⇒ R_Ay·x − 1'2·x·(x/2) − M = 0 ⇒ M = 4'2·x − 0'6·x² kN·m

	0 ≤ x ≤ 7
Fuerza cortante V (kN)	V = 4'2 − 1'2·x
Momento flector M (kN·m)	M = 4'2·x − 0'6·x²

c) Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

x = 0 ⇒ V = 4'2 ; M = 0

x = L/2 = 3'5 ⇒ V = 0 ; M = 7'35 kN·m ← momento flector máximo

x = 7 ⇒ V = −4'2 ; M = 0

Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

d) Ejemplos reales

Viga que soporta el peso de un forjado.
Estante de una estantería con objetos (libros) distribuidos de forma homogénea.

Dintel y marcos de ventanas/puertas (el dintel es la viga que soporta el muro).
Tubería larga con 2 apoyos cuya carga es el peso de la tubería y el fluido que contiene.

// Ejercicio 2 · 2025 Jun. ord.

E2Viga en voladizo con carga puntual

DatosP = 8 kNL₁ = 5 mL₂ = 7 m

¡¡Aclaración de signos!! Hay que ver hacia dónde me genera el momento cada fuerza. También depende del punto donde calculo el momento.

a) Diagrama de cuerpo libre (DCL)

DCL

Condiciones de equilibrio

ΣF_x = 0 ⇒ R_Ax = 0

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − P = 0 ⇒ R_Ay = P = 8 kN

ΣM_B = 0 ⇒ −M_A + R_Ay·(L₁+L₂) − P·L₂ = 0

En este caso interesa más calcular el momento en A.

ΣM_A = 0 ⇒ −M_A + P·L₁ = 0 ⇒ M_A = P·L₁ = 8·5 = 40 kN·m

Si lo hacemos con M_B sale lo mismo: M_A = R_Ay·(L₁+L₂) − P·L₂ = 8·12 − 8·7 = 96 − 56 = 40 kN·m

b) Esfuerzo cortante y momento flector por tramos

Consideramos un corte desde A a una distancia x justo antes de la carga P, y un segundo corte pasada la carga P (a una distancia x antes del 2º apoyo).

Tramo 1 · 0 ≤ x ≤ 5

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − V₁ = 0 ⇒ V₁ = R_Ay = 8 kN

ΣM_x = 0 ⇒ −M_A + R_Ay·x − M₁ = 0 ⇒ M₁ = R_Ay·x − M_A

M₁ = 8·x − 40

Tramo 2 · 5 ≤ x ≤ 12

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − P − V₂ = 0 ⇒ V₂ = R_Ay − P = 0

ΣM_x = 0 ⇒ −M_A + R_Ay·x − P·(x−5) − M₂ = 0

M₂ = R_Ay·x − P·(x−5) − M_A = 8·x − 8·(x−5) − 40 = 8x − 8x + 40 − 40 = 0

Resumiendo:

	0 ≤ x ≤ 5	5 ≤ x ≤ 12
Fuerza cortante V (kN)	V₁ = 8	V₂ = 0
Momento flector M (kN·m)	M₁ = 8·x − 40	M₂ = 0

c) Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

Para sacar el momento flector, sustituimos:

x = 0 ⇒ M₁ = −40 kN·m

x = 5 ⇒ M₁ = 0 kN·m

Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

Si la carga P estuviese en el extremo derecho (coincidiendo con el punto B), en el apartado b solo tendríamos el 1er tramo o corte, y en los diagramas V y M solo le correspondería el 1er tramo también.

d) Ejemplos reales

Brazo de una grúa.
Brazo horizontal que sostiene un semáforo.
Viga o losa de hormigón que es la estructura de un balcón (carga puntual → maceta grande).

// Ejercicio 3 · 2024 Jul. extraord.

E3Viga en voladizo con carga uniformemente repartida (rectangular)

Datosq = 1'2 kN/mL = 7 m

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

Fuerza equivalente en el punto medio: P = q·L = 1'2·7 = 8'4 kN.

DCL

Condiciones de equilibrio

ΣF_x = 0 ⇒ R_Ax = 0

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − P = 0 ⇒ R_Ay = P = 8'4 kN

ΣM_A = 0 ⇒ −M_A + P·L/2 = 0 ⇒ M_A = P·L/2 = 8'4·3'5 = 29'4 kN·m

Esfuerzo cortante y momento flector

Como tenemos una carga uniformemente repartida a lo largo de la viga, solo tenemos un único tramo (un corte) a una distancia x desde A.

Tramo único · 0 ≤ x ≤ 7

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − 1'2·x − V = 0 ⇒ V = 8'4 − 1'2·x kN

ΣM_x = 0 ⇒ −M_A + R_Ay·x − 1'2·x·(x/2) − M = 0

M = 8'4·x − 0'6·x² − 29'4 kN·m

	0 ≤ x ≤ 7
Fuerza cortante V (kN)	V = 8'4 − 1'2·x
Momento flector M (kN·m)	M = 8'4·x − 0'6·x² − 29'4

Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

Sustituyendo:

x = 0 ⇒ V = 8'4 kN ; M = −29'4 kN·m ← momento flector máximo

x = L/2 = 3'5 m ⇒ V = 4'2 kN ; M = −7'35 kN·m

x = L = 7 m ⇒ V = 0 ; M = 0

Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

// Ejercicio 4 · Galicia 2024 Jul. extraord.

E4Viga con dos apoyos y cargas en los extremos

DatosP₁ = 500 NP₂ = 800 NL = 12 mL₁ = 3 mL₂ = 4 m

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

DCL

Condiciones de equilibrio

ΣF_x = 0 ⇒ R_Bx = 0

ΣF_y = 0 ⇒ −P₁ + R_Ay + R_By − P₂ = 0 ⇒ R_Ay + R_By = 1300 N

ΣM_D = 0 ⇒ −500·12 + R_Ay·9 + R_By·4 = 0 ⇒ 9·R_Ay + 4·R_By = 6000 N

Sistema de ecuaciones con 2 incógnitas

R_Ay + R_By = 1300 N ⇒ R_By = 1300 − R_Ay

9·R_Ay + 4·R_By = 6000 N

9·R_Ay + 4·(1300 − R_Ay) = 6000 ⇒ 9·R_Ay + 5200 − 4·R_Ay = 6000

R_Ay = (6000 − 5200)/5 = 800/5 = 160 N

R_By = 1300 − R_Ay = 1300 − 160 = 1140 N

Esfuerzo cortante y momento flector · 3 tramos

Tramo 1 · 0 ≤ x ≤ 3

ΣF_y = 0 ⇒ −P₁ − V₁ = 0 ⇒ V₁ = −P₁ = −500 N

ΣM_x = 0 ⇒ −P₁·x − M₁ = 0 ⇒ M₁ = −P₁·x = −500·x N·m

Tramo 2 · 3 ≤ x ≤ 8

ΣF_y = 0 ⇒ −P₁ + R_Ay − V₂ = 0 ⇒ V₂ = 160 − 500 = −340 N

ΣM_x = 0 ⇒ −P₁·x + R_Ay·(x−3) − M₂ = 0

M₂ = 160·(x−3) − 500·x = 160x − 480 − 500x = −340·x − 480 N·m

Tramo 3 · 8 ≤ x ≤ 12 (desde la izquierda)

ΣF_y = 0 ⇒ −500 + 160 + 1140 − V₃ = 0 ⇒ V₃ = 800 N

ΣM_x = 0 ⇒ −500·x + 160·(x−3) + 1140·(x−8) − M₃ = 0

M₃ = −500x + 160x − 480 + 1140x − 9120 = 800·x − 9600 N·m

Para el 3er tramo interesa hacer los cálculos desde la derecha en lugar de desde la izquierda. Como ahora lo hago desde la derecha, el criterio de signos se invierte.

ΣF_y = 0 ⇒ −V₃ + P₂ = 0 ⇒ V₃ = P₂ = 800 N

ΣM_x = 0 ⇒ −M₃ − P₂·(12−x) = 0 ⇒ M₃ = −800·(12−x) = −9600 + 800·x

Resumiendo:

	0 ≤ x ≤ 3	3 ≤ x ≤ 8	8 ≤ x ≤ 12
Fuerza cortante V (N)	V₁ = −500	V₂ = −340	V₃ = 800
Momento flector M (N·m)	M₁ = −500·x	M₂ = −340·x − 480	M₃ = 800·x − 9600

x = 0 ⇒ M₁ = 0

x = 3 ⇒ M₁ = −1500 ; M₂ = −1500

x = 8 ⇒ M₂ = −3200 ; M₃ = −3200

x = 12 ⇒ M₃ = 0

Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

// Ejercicio 5 · McGraw Hill, pág. 81 ej. 9

E5Viga en voladizo con carga puntual y carga uniformemente distribuida

DatosCarga puntual: 50 N en BCarga repartida: 50 N/m en C–D (3 m)150 N = 50 N/m · 3 m

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

DCL

Condiciones de equilibrio

ΣF_x = 0 ⇒ R_Ax = 0

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − 50 − 150 = 0 ⇒ R_Ay = 200 N

ΣM_A = 0 ⇒ −M_A + 50·2 + 150·(2+3+1'5) = 0 ⇒ M_A = 1075 N·m

Esfuerzo cortante y momento flector · 3 tramos

Tramo 1 · 0 ≤ x ≤ 2

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − V₁ = 0 ⇒ V₁ = R_Ay = 200 N

ΣM_x = 0 ⇒ −M_A + R_Ay·x − M₁ = 0 ⇒ M₁ = 200·x − 1075 N·m

Tramo 2 · 2 ≤ x ≤ 5

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − 50 − V₂ = 0 ⇒ V₂ = 150 N

ΣM_x = 0 ⇒ −M_A + R_Ay·x − 50·(x−2) − M₂ = 0

M₂ = −1075 + 200x − 50x + 100 ⇒ M₂ = 150·x − 975 N·m

Tramo 3 · 5 ≤ x ≤ 8

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − 50 − 50·(x−5) − V₃ = 0 ⇒ V₃ = 150 − 50x + 250 = 400 − 50·x

ΣM_x = 0 ⇒ −M_A + R_Ay·x − 50·(x−2) − 50·(x−5)·(x−5)/2 − M₃ = 0

M₃ = −1075 + 200x − 50x + 100 − 25·(x² − 10x + 25)

M₃ = −25·x² + 400·x − 1600 N·m

Resumiendo:

	0 ≤ x ≤ 2	2 ≤ x ≤ 5	5 ≤ x ≤ 8
Fuerza cortante V (N)	V₁ = 200	V₂ = 150	V₃ = 400 − 50·x
Momento flector M (N·m)	M₁ = 200·x − 1075	M₂ = 150·x − 975	M₃ = −25·x² + 400·x − 1600

x = 0 ⇒ M₁ = −1075

x = 2 ⇒ M₁ = −675

x = 5 ⇒ M₂ = −225

x = 8 ⇒ V₃ = 0 ; M₃ = 0

Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

// Ejercicio 6 · Libro José Otero, pág. 63 ej. 9

E6Viga simplemente apoyada con carga puntual y carga uniformemente distribuida

DatosCarga repartida: 30 kN/m en los 2 primeros metrosP₂ = 30·2 = 60 kNP₁ = 60 kN

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

DCL

Condiciones de equilibrio

ΣF_x = 0 ⇒ R_Ax = 0

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − 60 − 60 + R_By = 0 ⇒ R_Ay + R_By = 120

ΣM_A = 0 ⇒ 60·1 + 60·3 − R_By·5 = 0 ⇒ R_By = 48 kN

⇒ R_Ay = 120 − R_By = 120 − 48 = 72 kN

Esfuerzo cortante y momento flector · 3 tramos

Tramo 1 · 0 ≤ x ≤ 2

ΣF_y = 0 ⇒ 72 − 30·x − V₁ = 0 ⇒ V₁ = −30·x + 72

ΣM_x = 0 ⇒ 72·x − 30·x·(x/2) − M₁ = 0 ⇒ M₁ = −15·x² + 72·x kN·m

Tramo 2 · 2 ≤ x ≤ 3

ΣF_y = 0 ⇒ 72 − 60 − V₂ = 0 ⇒ V₂ = 12 kN

ΣM_x = 0 ⇒ 72·x − 60·(x−1) − M₂ = 0 ⇒ M₂ = 12·x + 60 kN·m

Tramo 3 · 3 ≤ x ≤ 5 (interesa hacerlo por la derecha)

ΣF_y = 0 ⇒ −V₃ − 48 = 0 ⇒ V₃ = −48 kN

ΣM_x = 0 ⇒ −M₃ + 48·(5−x) = 0 ⇒ M₃ = −48·x + 240 kN·m

Resumiendo:

	0 ≤ x ≤ 2	2 ≤ x ≤ 3	3 ≤ x ≤ 5
Fuerza cortante V (kN)	V₁ = −30·x + 72	V₂ = 12	V₃ = −48
Momento flector M (kN·m)	M₁ = −15·x² + 72·x	M₂ = 12·x + 60	M₃ = −48·x + 240

x = 0 ⇒ V₁ = 72 ; M₁ = 0

x = 2 ⇒ V₁ = 12 = V₂ ; M₁ = 84 = M₂

x = 3 ⇒ V₂ = 12 ; M₂ = 96 = M₃

x = 5 ⇒ V₃ = −48 ; M₃ = 0

Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

// Ejercicio 7 · 2026 orientativo

E7Viga simplemente apoyada con dos cargas puntuales

DatosP₁ = 5 kN (en B)P₂ = 5 kN (en C)L = 7 m

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

DCL

Condiciones de equilibrio

ΣF_x = 0 ⇒ R_Ax = 0

ΣF_y = 0 ⇒ R_Ay − 5 − 5 + R_Dy = 0 ⇒ R_Ay + R_Dy = 10

ΣM_A = 0 ⇒ 5·2 + 5·5 − R_Dy·7 = 0 ⇒ R_Dy = 5 kN

R_Ay = 10 − R_Dy = 10 − 5 = 5 kN

Esfuerzo cortante y momento flector · 3 tramos

Tramo 1 · 0 ≤ x ≤ 2

ΣF_y = 0 ⇒ 5 − V₁ = 0 ⇒ V₁ = 5 kN

ΣM_x = 0 ⇒ 5·x − M₁ = 0 ⇒ M₁ = 5·x kN·m

Tramo 2 · 2 ≤ x ≤ 5

ΣF_y = 0 ⇒ 5 − 5 − V₂ = 0 ⇒ V₂ = 0 kN

ΣM_x = 0 ⇒ 5·x − 5·(x−2) − M₂ = 0 ⇒ M₂ = 10 kN·m

Tramo 3 · 5 ≤ x ≤ 7 (interesa por la derecha)

ΣF_y = 0 ⇒ −V₃ − 5 = 0 ⇒ V₃ = −5 kN

ΣM_x = 0 ⇒ −M₃ + 5·(7−x) = 0 ⇒ M₃ = −5·x + 35 kN·m

Resumiendo:

	0 ≤ x ≤ 2	2 ≤ x ≤ 5	5 ≤ x ≤ 7
Fuerza cortante V (kN)	V₁ = 5	V₂ = 0	V₃ = −5
Momento flector M (kN·m)	M₁ = 5·x	M₂ = 10	M₃ = −5·x + 35

x = 0 ⇒ M₁ = 0

x = 2 ⇒ M₁ = 10

x = 7 ⇒ M₃ = 0

Diagramas de esfuerzo cortante (V) y momento flector (M)

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