Circuitos digitales

De los bits a las puertas lógicas: sistemas de numeración, álgebra de Boole, puertas lógicas universales y simplificación con mapas de Karnaugh, explicado paso a paso.

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¿Qué vas a aprender?

1Introducción: señales analógicas vs. digitales 2Sistemas de numeración 3Álgebra de Boole 4Operaciones básicas (Puertas AND / OR / NOT) 5Propiedades del álgebra de Boole 6Puertas lógicas universales (Puertas NOR / NAND) 7Otras puertas (Puertas XOR / XNOR) 8Formas canónicas (MINTERMS / MAXTERMS) 9Simplificación de funciones lógicas: Mapa de Karnaugh 10Implementación de circuitos con puertas universales (NOR / NAND)

1Introducción

El control de sistemas automáticos supone el control de señales físicas (temperatura, humedad, posición, intensidad...etc.) captadas por transductores, que las convierten en señales eléctricas. Estas señales se procesan con circuitos electrónicos de 2 tipos:

Circuitos analógicos — Trabajan con señales analógicas que se caracterizan por:

Ser señales continuas
Existe un número infinito de valores
Cambian sin discontinuidades ni escalonamiento

Circuitos digitales — Trabajan con señales digitales que se caracterizan por:

Ser señales discretas
Se limitan a un número finito de valores (discretas)
Cambian con discontinuidades o escalonamientos

En la naturaleza no existen señales digitales, pero en la vida diaria sí: bien/mal, ON/OFF, blanco/negro...etc.

Sabiendo que las señales digitales son discretas y con un número finito de valores es lógico pensar que estamos perdiendo información y que las señales contínuas serían más adecuadas en términos de información completa. Pero entonces, ¿por qué han ganado la partida las señales digitales a las analógicas?

Mayor facilidad para ser transmitidas
Mayor facilidad para ser procesadas
Mayor facilidad para ser almacenadas
Mayor inmunidad al ruido electrónico

Las señales digitales no expresan cantidades, sino estados de las variables.

2Sistemas de numeración

Son conjuntos de dígitos que representan la información numérica. Cada sistema se define por su BASE, que representa la cantidad de dígitos que se usan para representar los números.

Principales sistemas de numeración

Sistema	Base	Nº de dígitos	Dígitos usados
Decimal	10	10 dígitos	0 – 9
Binario	2	2 dígitos	0 y 1
Octal	8	8 dígitos	0 – 7
Hexadecimal	16	16 dígitos	0 – 9 y A – F

Expresión polinómica

Para representar un número N en base b existe una expresión polinómica:

N = a_n·bⁿ + a_n-1·b^n-1 + ... + a₁·b¹ + a₀·b⁰ + a_-1·b^-1 + a_-2·b^-2 ...

donde: N = número · b = base del sistema de numeración · a_i = coeficientes (cifras del número N)

Consideramos que el número 423'52 está en base 10 (decimal). Determina su expresión polinómica.

posición 2 1 0 -1 -2 (b = 10)
4 2 3 , 5 2 = N

423'52 = 4·10² + 2·10¹ + 3·10⁰ + 5·10^-1 + 2·10^-2

2.1Sistema binario

Solo 2 dígitos (0 y 1) que se llaman bits.

1 0 1 0 0 1 0 0

bit más significativo (izq.) · bit menos significativo (dcha.)

8 bits = 1 byte ⇒ unidad de información

Binario → Decimal

Se aplica la expresión polinómica (potencias de 2).

10011010,101₂ = ?₁₀
1·2⁷=128 0·2⁶=0 0·2⁵=0 1·2⁴=16
1·2³=8 0·2²=0 1·2¹=2 0·2⁰=0
1·2^-1=0'5 0·2^-2=0 1·2^-3=0'125

10011010,101₂ = 154'625₁₀

Decimal → Binario

Se separa: parte entera y parte decimal. Hay que indicar con cuántos dígitos de precisión trabajamos (por si no da exacto).

25'36₁₀ = ?₂

Parte entera (25) — divisiones sucesivas entre 2, restos del más al menos significativo:

25│2 → 1 (resto)
12│2 → 0
6│2 → 0
3│2 → 1
1 → 1 (más signif.)

11001₂ = 25₁₀

Parte decimal (0'36) — con 6 dígitos de precisión, multiplicaciones sucesivas ×2:

0'36·2=0,72 0'72·2=1,44 0'44·2=0,88
0'88·2=1,76 0'76·2=1,52 0'52·2=1,04

0'36₁₀ = 0,010111₂

25'36₁₀ = 11001,010111₂

Rango: n = 0 a 2^n-1. ¿Cuántos bits necesito para representar un decimal N? → 2ⁿ = N (n = nº de bits, N = cantidad de números representables)

2.2Sistema hexadecimal

Usa 16 dígitos: 0 – 9 y A – F

Equivalencia entre hexadecimal y decimal:

HEX	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
DEC	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Hexadecimal → Decimal

Se usa la expresión polinómica (potencias de 16).

2EF₁₆ = ?₁₀
15·16⁰=15 14·16¹=224 2·16²=512

2EF₁₆ = 751₁₀

Decimal → Hexadecimal

Proceso similar al binario (parte entera y decimal), dividiendo/multiplicando por 16.

751₁₀ = ?₁₆
751│16 → resto 15 (F) 46│16 → resto 14 (E) 2 → 2

751₁₀ = 2EF₁₆

Binario ↔ Hexadecimal

Se hacen grupos de 4 bits, separando parte entera de parte decimal.

1101,101011₂ = ?₁₆
Entera: grupos de 4 bits de dcha. a izq. (rellenar con 0 a la izq. si falta).
Decimal: grupos de 4 bits de izq. a dcha. (rellenar con 0 a la dcha. si falta).

1101 , 1010 1100
13 10 12
D A C

1101,1010M₂ = D,AC₁₆

4DF₁₆ = ?₂ (proceso inverso)

4 D F → hexadecimal
4 13 15 → eq. decimal
0100 1101 1111 → eq. binario

4DF₁₆ = 010011011111₂

3Álgebra de Boole

Es la base matemática de la electrónica digital. En lugar de operar con números tradicionales, se opera con 2 estados: "verdadero" o "falso".

George Boole (matemático inglés) la desarrolló en 1847 (mediados s. XIX). Pero no fue hasta 1948 que Claude Shannon (matemático e ingeniero de EE.UU.) la aplicó por 1ª vez en conmutación eléctrica biestable (2 estados).

Esos 2 estados se representan con 0 y 1, y se pueden distinguir 2 tipos de lógica:

Lógica positiva

1 = valor de tensión alto = nivel lógico alto
0 = valor de tensión bajo = nivel lógico bajo

Lógica negativa (al revés de la positiva)

1 = valor de tensión bajo = nivel lógico bajo
0 = valor de tensión alto = nivel lógico alto

En este tema usamos LÓGICA POSITIVA.

3.1 Función lógica

Es aquella función (f) cuyos valores son binarios (0 y 1) y dependen de una expresión algebraica formada por variables binarias relacionadas entre sí mediante diferentes operaciones.

f (A, B, C) = A·B + C

A partir de la función lógica (f) se puede obtener la tabla de verdad y a partir de la tabla de verdad se puede obtener la función lógica (f).

3.2 Tabla de verdad

Formada por:

columnas (cada variable de entrada + salida(s))

filas (2ⁿ, siendo n el nº de entradas)

A	B	C	f
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

4Operaciones básicas (Puertas AND / OR / NOT)

Existen muchos estándares para la simbología de las puertas lógicas. Los más usados son:

ANSI (antiguo ASA) — American National Standards Institute. Simbología tradicional.
BS — British Standard.
IEC — International Electrotechnical Commission.

Producto (Puerta AND) Producto lógico "y", intersección o puerta AND.
La salida es 1 si TODAS las entradas son 1.

Símbolo ANSI

Símbolo británico

Tabla de verdad

2 entradas = 2² = 4
combinaciones de las entradas

a	b	S
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Función

S = a · b

Circuito equivalente

Suma (Puerta OR) Suma lógica "o", unión o puerta OR.
La salida es 1 si al menos UNA entrada es 1.

Símbolo ANSI

Símbolo británico

Tabla de verdad

2 entradas = 2² = 4
combinaciones de las entradas

a	b	S
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Función

S = a + b

Circuito equivalente

Complemento (Puerta NOT) Inversión, negación o puerta NOT. Se aplica a 1 variable.
La salida es lo contrario de la entrada (Ā se lee "A negada").

Símbolo ANSI

Símbolo británico

Tabla de verdad

1 entrada = 2¹ = 2
combinaciones de la entrada

a	S
0	1
1	0

Función

S = ā

Circuito equivalente

5Propiedades del álgebra de Boole

Propiedad / Teorema		Respecto a la suma	Respecto al producto
Propiedades	Conmutativa	a + b = b + a	a · b = b · a
	Elemento neutro	0 + a = a	1 · a = a
	Distributiva	a · (b + c) = (a · b) + (a · c)	a + (b · c) = (a + b)(a + c)
	Asociativa	a + (b + c) = (a + b) + c	a · (b · c) = (a · b) · c
	Complementario	a + a = 1	a · a = 0
Teoremas	Idempotencia	a + a = a	a · a = a
	Identidad	a + 1 = 1	a · 0 = 0
	Absorción	a + a · b = a	a · (a + b) = a
	Leyes de Morgan	a + b = a · b	a · b = a + b

6Puertas lógicas universales (Puertas NOR / NAND)

Se las denomina así porque a partir de ellas podemos obtener las demás. Son 2:

NOR = OR + NOT — inversa a la puerta OR.
NAND = AND + NOT — inversa a la puerta AND.

Puerta NOR Inversa de la OR. La salida es 1 si TODAS las variables valen 0.

Símbolo ANSI

Símbolo británico

Tabla de verdad

2 entradas = 2² = 4
combinaciones de las entradas

a	b	S
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Función

S = a + b = a · b

Circuito equivalente

Puerta NAND Inversa de la AND. La salida es 0 si TODAS las entradas valen 1.

Símbolo ANSI

Símbolo británico

Tabla de verdad

2 entradas = 2² = 4
combinaciones de las entradas

a	b	S
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Función

S = a · b = a + b

Circuito equivalente

Representación de OR, AND y NOT con puertas universales (NOR / NAND)

NOT con NOR / NAND

OR con NOR → negando una puerta NOR

OR con NAND → Aplicando la Ley de Morgan:

a + b = a + b = a · b Se niega dos veces (la doble negación no cambia el valor) y se aplica la Ley de Morgan a la negación interior.

AND con NAND → negando una puerta NAND

AND con NOR → Aplicando la Ley de Morgan:

a · b = a · b = a + b Se niega dos veces (la doble negación no cambia el valor) y se aplica la Ley de Morgan a la negación interior.

7Otras puertas lógicas (XOR / XNOR)

7.1 Puerta XOR (EXOR) OR exclusiva. Salida 1 solo si 1 (y solo 1) de las entradas vale 1.

Símbolo ANSI

Símbolo británico

Tabla de verdad

2 entradas = 2² = 4
combinaciones de las entradas

a	b	S
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Función

S = a ⊕ b = a · b + a · b

Circuito equivalente

7.2 Puerta XNOR (EXNOR) NOR exclusiva. Negación de XOR. Salida 1 si las entradas tienen el mismo valor.

Símbolo ANSI

Símbolo británico

Tabla de verdad

2 entradas = 2² = 4
combinaciones de las entradas

a	b	S
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Función

S = a ⊕ b = a · b + a · b

Circuito equivalente

8Formas canónicas (MINTERMS / MAXTERMS)

En general, una misma función lógica puede representarse mediante varias formulaciones matemáticas equivalentes. En cambio, la tabla de verdad es la misma en todos los casos. Existen 2 representaciones denominadas formas canónicas.

Las formas canónicas son expresiones algebraicas obtenidas a partir de la tabla de verdad, en las que cada término debe contener TODAS las variables de entrada (negadas o sin negar). Existen 2 formas canónicas:

1ª FORMA CANÓNICA — Suma de productos (MINTERM)

Ecuación estructurada como suma de términos en forma de producto de todas las variables.

Aparecen los términos de salida 1
No figuran los términos de salida 0
Variable directa = 1
Variable complementada =0

S = ā·b̄·c + ā·b·c̄ + a·b·c̄

2ª FORMA CANÓNICA — Producto de sumas (MAXTERM)

Ecuación estructurada como producto de términos en forma de suma de todas las variables.

Aparecen los términos de salida 0
No figuran los términos de salida 1
Variable directa = 0
Variable complementada = 1

S = (a+b+c) · (a+b̄+c) · (ā+b̄+c̄)

9Simplificación de funciones lógicas: Mapa de Karnaugh

Para las funciones lógicas se debe conseguir la máxima sencillez, utilizando el mínimo número de puertas lógicas, para facilitar las operaciones y que el coste de los circuitos sea el mínimo posible.

Las propiedades del álgebra de Boole son muy laboriosas y no aseguran un resultado óptimo. Por ello se usa el método gráfico o mapa de Karnaugh, válido para funciones de 2 a 6 variables de entrada, basado en la ordenación de la tabla de verdad.

1Dibujamos la tabla colocando las combinaciones de entrada de forma que, al pasar de una columna/fila a la contigua, solo cambie el valor de una variable.

Plantillas del mapa

CON 2 ENTRADAS

A\B

CON 3 ENTRADAS

AB\C

CON 4 ENTRADAS

AB\CD

2Completamos la tabla:

si es MINTERM escribimos 1 en las salidas que valen 1
si es MAXTERM escribimos 0 en las que valen 0
El resto, en blanco

3Se hacen agrupaciones de términos adyacentes siguiendo estas reglas:

Las agrupaciones se hacen siendo potencias de 2 (1, 2, 4, 8...) siguiendo los ejes de coordenadas nunca en diagonal
Que las agrupaciones tengan el mayor número posible de términos
El número de agrupaciones debe ser mínimo
Un término canónico puede utilizarse en varias asociaciones
Los términos que no pueden agruparse se quedan solos

4 Una vez agrupados, se aplica la siguiente ley del álgebra de Boole:

a·b + a·b = a·(b+b) = a

Al aplicarla, se simplifican las casillas contiguas que se diferencian en tener una variable sin negar y negada.

10Implementación de circuitos con puertas universales (NOR / NAND)

El proceso de diseño de un circuito digital sigue los siguientes pasos:

aObtener la tabla de verdad

bObtener la función canónica

cSimplificar la función (Karnaugh)

dImplementar el circuito

Con NAND — Se realiza a partir de la expresión por MINTERMS:

Se aplica una doble negación
Si la expresión solo tiene productos lógicos → FIN
Si no, Ley de De Morgan a las sumas. Repetir hasta tener solo productos negados.

Con NOR — Se realiza a partir de la expresión por MAXTERMS:

Se aplica una doble negación
Si la expresión solo tiene sumas lógicas → FIN
Si no, Ley de De Morgan a los productos. Repetir hasta tener solo sumas negadas.

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